@Sascha.Peschke : der einfachste Weg dürfte darin bestehen die Mails zunächst zu sichern. Dazu reicht im Grunde ein PC mit einem Mailprogramm wie Thunderbird. Man richtet Thunderbird mit IMAP ein und abonniert alle Ordner des Servers. Das führt dazu, dass Thunderbird alle Ordner des Servers mit dem PC synchronisiert. Man hat dann ein Duplikat aller Mails auf dem PC. Nun empfiehlt es sich eine lokale Sicherung aller Mails auf dem PC zu erstellen. Dies dient als Backup. falls im weiteren Verlauf Fehler passieren. Dazu gibt es einen relativ einfachen  Weg, nämlich den Ordner in dem Thunderbird Mails etc. speichert zu sichern. Der steht bei Windows (10) unter C:\AppData\Roaming\Thunderbird\Profiles. Alternativ kann man das Addon "ImportExportTools NG" installieren und mit dem die Mails separat sichern. Danach kann man die Verbindung zum neuen Konto herstellen und mit dem synchronsieren. Wer das Ganze Tool-gestützt machen will, kann auch das Sicherungswerkzeug Mailstore o. ä. einsetzen.

@mboettcher Das wäre mir neu (zumindest bei TB), dass tatsächlich die Nachrichten lokal kopiert werden. (außer POP).

Normalerweise werden nur die Header geladen.

Wenn Du tatsächlich lokal sichern willst, musst Du manuell lokale Kopien erstellen (und dann später zurück).

Aber grundsätzlich geht Dein Tipp in die richtige Richtung.

@Sascha.Peschke Funktioniert denn die Anweisung der Änderung in einen Freemail Account nicht mehr?

@wolliballa : zieh doch einfach einmal das Netzwerk von deinem PC und öffne dann Mails. Ich kann die bei meinem IMAP-Konto der Firma ziemlich gut lesen. Und ich glaube kaum, dass ich mir die Mailtexte imaginiere. natürlich werden die Mails komplett synchronisiert.