Danke für die Antwort. 
Thunderbird hatte ich mal und das Problem war, dass er bei jeder Mail eine Authentifizierung wollte und das konnte ich - trotz aller möglichen Einstellungen, nicht ändern. Eigentlich brauche ich auch nur einen kleinen E-Mail Dienst und keinen Client für Home Office. 
Den e M Client hatte ich auch mal und fand ihn schön. Nur zeigt er dummerweise das Passwort im Windows-Explorer (hab das auch gemeldet) und T-Online unterstützt den ja auch nicht. 
Habe nochmal einen neuen Versuch unternommen und in der Mail App von Win 10 ein neues E-Mail Konto gemäß T-Online Anleitung gemacht. Er bringt irgendwann dann doch wieder stets die gleiche Fehlermeldung mit der Synchronisierung. Das ist wie ein Dejà vue. 
Ich behalte den Exchange und mal sehn, was im Sep. 20 damit passiert. Zur Not stelle ich dann eben die wichtigsten Logins auf G-Mail um. Wenn man überlegt, wie stabil das Windows 10 heute schon ist, sich selbst repariert und wieder konfiguriert, was ja normal bei den  Vorgängern kaum möglich war. So sollte man denken, dass heute auch ein normaler Daten -Transfer für einen gängigen Kontotyp - sowie auch für den User, heute wirklich kein solch problematischer Aufwand mehr ist.          

Dann läuft / lief bei Dir was schief. TB ist in 2 min installiert. Mailadresse + gesondertes Mailpasswort.

 Mein neues funktionierendes POP Konto
                                   
Das man ein neues Kennwort in dem Moment schon braucht, wenn man Konto hinzufügen nimmt, war mir nicht bewusst. 
Nochmals danke für deinen Einsatz und Engagement. So ein bissel Aufmerksamkeit gibt einem ja auch wieder Mut. 

Auch mal interessant: Die SyncApp der Telekom und die Kompatibilität mit Samsung und iPhones.
https://www.zdf.de/nachrichten/digitales/telekom-mail-synchronisation-app-100.html vom 15.9.2020 

Da ich im Prinzip ja auch keine Kontakte mehr auf den PC bekomme, nehme ich alternativ nur noch mein Google Konto und das geht super mit PC und Smartphone. Das Telekom Adressbuch ist halt da - mehr auch nicht. 

Vielen Dank für die Links, die nun funktionierten. Habe mir die Seiten angeschaut; aber das sind alles Seiten bzw. Anleitungen, die ich schon kannte. Aber das Problem der Mail-Synchronisierung besteht fort: Lösche ich auf dem Handy eine Mail, wird diese sogleich auch in meinen Destop-Mailprogrammen gelöscht (also TOL-EMail im Browser oder im installierten Thunderbird-Programm; lösche ich dort aber Mail, so bleibt sie noch auf dem mit SynPlus synchronisierten Handy in den E-Mails. Auch wenn ich nochmal Sync in der App über "Einstellungen/Jetzt synchronisieren" manuell aktiviere.) Mir scheint, auch Mail-Papierkorb auf Handy wird nicht synchronisiert usw. usf.

Ich habe heute noch etwas ausprobiert: Habe Sync-App deinstalliert, so daß ich keine Mails und Kontakte mehr auf dem Handy (Android) hatte. Auch in der vorinstallierten (Samsung A3) E-Mail-App alle Daten gelöscht. Dann die SyncPlus-App neu installiert und eingerichtet. Das mußte ich leider wiederholt versuchen, weil es ein paar mal 'klemmte' (Fehlermeldung: 'App angehalten'). Irgendwann schien sie endlich korrekt installiert. Dann in die E-Mail-App geschaut. Hatte gedacht, Sync-App würde die automatisch einrichten; war nicht. Also dann die vorinstallierte Handy-Mail-App (nicht die mir bei der Einrichtung vorgeschlagene TOL-Mail-App, die extra hätte installiert werden müssen) manuell eingerichtet (TOL-Mail-Adresse und Webmail-LogIn - nicht das allgemeine TOL-LogIn!). Eine Weile gebrübelt, was die Einstell-Option zum E-Mail-Synochronisationszeitraum bedeutet; die vorgeschlagene Option von "2 Wochen" auf "Alle" geändert.
Jetzt beobachte und bete ich... Bisher scheint die Sync zu funktionieren. Habe ein paar Testmails mir geschickt und mal hier (Desktop-PC in TOL-Browser-Email-Center), mal da (auf Handy in Mail-App dort( gelöscht. Waren dann jeweils auch in der anderen Anwendung gelöscht. Mal sehen, ob's nun endlicht funktioniert.