Die FAX-Funktion kannst Du nicht kabellos einrichten.

Nein, das funktioniert nicht. Du mußt das Fax mit dem Original-Kabel mit dem Router verbinden und im Router entsprechend einrichten.

Nein, 

wenigstens per LAN oder WLAN funktioniert das nicht.

Es gibt allerdings schnurlos-Lösungen, wie z.B. diese hier: https://www.conrad.de/de/dect-schnurlose-tae-anschlussdose-923972.html

Inwieweit das problemlos funktioniert, kann ich nicht sagen.

@encorra

Leder nicht.

Viele Faxgeräte arbeiten auch nur dann einwandfrei, wenn sie mit ihrem Original- TAE -Kabel am Router angeschlossen werden.

Ja, das geht.

Es gibt insbesondere zwei Varianten:

1. ein DECT Adapter an dem das hp per Telefonkabel angeschlossen wird, und der DECT Adapter wird am Speedport angemeldet, z.B. diesen würde ich probieren
   https://www.amazon.de/Wantec-b-Adapter-CAT-iq-f%C3%A4hig-Netzsteckergeh%C3%A4use/dp/B00TCGPODQ/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1492448527&sr=8-1&keywords=wantec+dect+dtl+2.0+t-a+b-adapter
2. eine Fritzbox 7490 mit IP-Telefoniezugangsdaten für die Faxnummer an der das hp per Telefonkabel angeschlossen wird - und die sich per WLAN mit dem Speedport verbindet

Ob das bei Dir klappt musst Du einfach probieren - deshalb am besten dort kaufen, wo Du es zur Not zurückgeben kannst.

Bei mir funktioniert es problemlos mit Tiptel EasySet 50. Speedport Router im Erdgeschoss, Brother MFC inkl. Fax im 1. Obergeschoss.