Die Miete des Routers ist ein völlig eigenständiger Vertrag.

Du müsstest den also sowieso selbstständig und extra kündigen oder nutzt ihn einfach weiter.

S316124T

Ich werde in den nächsten Wochen meinen Telekom Anschluss kündigen (bzw. wird die Kündigung vom neuen Anbieter vorgenommen).

Da ich allerdings noch einen Speedport Router (Mietgerät) hier habe stellt sich mir folgende Frage:

 

Ist das Mietgerät bei Kündigung des Anschlusses ebenfalls betroffen oder ist es möglich den Router unabhängig vom Anschluss noch für eine Weile zu mieten?

Unabhängig von der korrekten Antwort von @der_Lutz  solltest Du mal schauen welcher Router bei welchem neuen Provider angeschlossen werden soll, nicht alle Speedports kann man für alle Provider konfigurieren. Bei seriösen Providern gibt es auch eine Community wie hier, bei Unsicherheiten dort nachfragen ob es mit Deinem Speedport funktioneren wird.