Das war zwar noch nicht die Lösung, aber sie hat mich auf die Lösung gebracht:

1. Man muss im Internet sich in seiner "iCloud"einloggen. Wegen 2facher Authentifizierung kann das mühsam werden, oder besser den Code vom Mac anfordern.

2. Dort dann "Mail" freigeben.

3. Dann wird man aufgefordert, eine neue Mail-Adresse zu vergeben, i.d.R. "name.name@icloud.com" kreieren.

4. Dann erscheint im Mac OS in Mail / Account endlich auch "Mail" mit Hälchen.

5. Dann kann man endlich die neue (hier also T-Online Mail Adresse) eintragen. Achtung: Das "E-Mail-Passwort" (jenes, welches man z.B. auch fürs iPhone benutzt oder mal benutzt hat) eingeben.

Ganz ganz lieben Dank an die Chatter!!!

Bitte nachsehen, dass ich mal genervt war. Das hat mich alleine jetzt, d.h. seit Freitag, bestimmt rein 4 Stunden gekostet.

Ich sehe natürlich, dass das auch die Chatter Zeit gekostet hat. Vergelt's Gott. (Und die positiven Bewertungen).

Ich habe nun die LÖSUNG selber gefunde, die HIER ZUVOR EBEN NICHT präsentiert wurde! Hat mich in der Summe 7 !!! Stunden gekostet und sorry, man darf erwarten, dass solche Lösungen AUCH UND GERADE HIER zu finden sind!!! Das Problem ist folgendes: NACH dem update auf HighSierra werden bei der Anmeldung des Benutzers mit dem jeweiligen Passwort die LOKALEN OBJEKTE in der Schlüsselbundverwaltung NICHT MEHR AUTOMATISCH entsperrt. Mit diesem Hinweis hätte dann auch jeder ganz einfach die Lösung googlen und finden können: FINDER öffnen. ALT drücken und auf GEHE ZU. Dann Library öffnen. Dort den Ordner KEYCHAINS öffnen. Den darin befindlichen Ordern mit dem sehr langen Namen in den Papierkorb legen. Rechner neu starten. Benutzer anmelden. Beim einem Telekom-Account, der Offline ist, wird das Passwort erneut abgefragt. Im ersten Versuch scheint der Fehler noch zu bestehen. Einfach abbrechen. Erneut versuchen. Danach klappt es. Bei Neueinrichtung eines Mail-Accounts führen FERTIG + WEITER nicht mehr in die Sackgasse, der Account wird problemlos eingerichtet! Und das ist EINDEUTIG ein APFEL-Problem!