@Hallwalla 

Probier mal den Direktzugriff über den Link https://www.t-online.de/auth/?returnToUrl=https://email.t-online.de

Das verzweigt direkt auf das Email-Center, wenn du in der Browser-Session schon angemeldet bist und ansonsten wirst du auf die Login-Seite umgeleitet.

Eine Alternative könnte sonst ein richtiges E-Mail-Programm sein, zum Beispiel Thunderbird.

Dort muss man dann nur einmalig das E-Mail-Postfach im Programm einrichten (hier allerdings mit dem gesonderten Passwort für E-Mail-Programme, das unter https://account.idm.telekom.com/account-manager/service/index.xhtml?type=email eingerichtet werden kann), danach ist keine Passworteingabe mehr nötig. Gleichzeitig nutzt man die Vorzüge eines richtigen E-Mail-Programms gegenüber dem E-Mail-Center, das ja nur auf Basisfunktionen beschränkt ist.

@Hallwalla : du hast nicht zufällig das Löschen der Cookies beim Beenden des Browsers eingestellt? Die Anmeldung wir in einem Cookie gespeichert. Löscht man es, muss man sich neu anmelden. Ansonsten ist es sinnvoll dem Rat von@Mikko  zu folgen und auf Webmail, Mail im Browser, zu verzichten und ein richtiges Mailprogramm einzusetzen. Das bietet diverse Vorteile und ermöglicht auf einfache Weise Mails zu sichern. 

Danke fdi,  dein Link funktioniert,  alles wieder beim Alten.  Auch die Antwort, die mboettcher geschrieben hat, ist sicher der Grund, weil ich nämlich vor ca. einer Woche edge zurückgesetzt habe und damit alle Cookies gelöscht wurden. Ein anderes Mailprogramm brauche ich nicht, lieber Mikko, da ich eher selten EMails schreibe. Das Webmailprogramm der Telekom reicht mir hier völlig aus.

Es wundert mir nur, warum es nicht hilft, wenn man "angemeldet bleiben" anklickt. Hier sollten doch die Cookies automatisch gespeichert werden?

Jedenfalls vielen Dank für eure Hilfe!