@martin.schoen 

In Zukunft wichtige Mails extern sichern, dass sollte der richtige Weg sein, damit keine Mails verloren gehen. Die Mails sind nun weg, wenn nicht gesichert.

@martin.schoen  Wenn dein Speicher voll sein sollte gehen Mails an dich mit entsprechendem Hinweis an den Absender zurück, eine Löschung durch die Telekom findet dadurch aber nicht statt. Auch der Papierkorb zählt bei der Speicher-Auslastung mit.

Als Grundlage würde ich mal nachsehen, welche Speicher-Dauer im E-Mail-Center eingestellt ist - ggf. auch für Unter-Ordner.

Einen externen Zugriff schließt du aus?  Die Änderung des Kennworts, ggf. auch des Kenntworts für externe Programme hast du schon vorgenommen.

Ich würde vorsorglich den Rechner auch auf Trojaner untersuchen.

Und @ Geralt von Riva hat die notwendige Datensicherung auch der Mails schon angesprochen.

martin.schoen

Von gestern auf heute 17.3.2024 sind alle älteren Emails (vor dem 17.3.) aus dem Posteingang verschwunden

Als erste Maßnahme Für jeden Ordner die Speicherdauer auf „nie löschen“ stellen. 

Zudem gilt: der Server eines ISP (hier der der Telekom) ist kein sicherer Ort für eine Langzeitspeicherung von Emails. Wer seine Mails ausschließlich auf dem Server lagert, handelt etwa so, als würde er dem Briefträger seine gesamte Post zur Aufbewahrung überlassen und ihn zum lesen der Post aufsuchen? Machst du das? Vermutlich nicht! Warum sind deine Mails dann nicht zusätzlich an einer Stelle gesichert, über die du die volle Kontrolle hast? Über den Server der Telekom hast du jedenfalls so gut wie keine. 
Der richtige Umgang mit Mails ist gar nicht so schwer. Der notwendige Schritt liegt für viele nur darin, zu begreifen, dass Webmail, also Mail im Webbrowser, früher als Notbehelf nützlich war, in der Zeit mit mobilem Internet seinen Sinn aber fast vollständig verloren hat. Zudem benötigt man eine Sicherung, die am einfachsten auf einem PC umzusetzen ist. Man installiere sich daher ein gutes Mailprogramm auf einem PC. Das muss nichts kosten, wie u. a. Thunderbird beweist. Da man heute überwiegen IMAP als Protokoll für den Posteingang verwendet, synchronisiert das Mailprogramm die Mails mit dem Server. Das ist gut, hat aber auch Tücken. So werden Löschungen ebenfalls synchronisiert, auch solche, die durch einen Fehler passieren. Man muss daher die Mails auf dem PC regelmäßig sichern, natürlich einem separaten Speichermedium, also z. B. einer USB-Platte, einem Stick oder einer SD-Karte. Das verhindert nicht etwa Datenverlust, sorgt aber dafür, dass maximal die Mails seit der letzten Sicherung betroffen sind. 

Wer keinen PC besitzt, der muss nach anderen Wegen suchen. Bei der Telekom gibt es für Kunden 15 GB Cloudspeicher kostenlos. Dort könnte man seine Mails sichern. Die gleiche Kapazität bietet Google für Android-Nutzer. Bei Apple gibt es in der iCloud 5GB kostenlos. Upgrades kosten relativ wenig.