Um buennis Antwort klarer zu machen:

Nein, der Speedport Hybrid hat so etwas nicht eingebaut.

Aber die Telekom bietet beide Funktionalitäten auf Netzseite an.

Für Sprachnachrichten musst Du im Telefoniecenter eine entsprechende Weiterleitung auf die "Sprachbox" einrichten

https://telefoniecenter.t-online.de/fcc/view/availabilitycallforwarding

Die Sprachnachrichten erhältst Du als email, kannst sie aber auch ganz normal vom Telefon aus abrufen (über die Sprachbox-Zugangsnummer). Du kannst Dir auch Benachrichtigungen einrichten (dann ruft die Sprachbox immer mal wieder an - oder Du bekommst eine meist kostenpflichtige SMS aufs Mobiltelefon)

Für Faxnachrichten richtest Du am besten die "PC-Fax"-Funktionalität ein (da erhältst Du dann eine weitere Rufnummer ausschließlich für Faxempfang mit der Vorwahl 0322...) und dann richtest Du im Telefoniecenter (Link s.o.) eine Weiterleitung Deiner bisherigen Faxrufnummer auf diese dedizierte Faxnummer ein.

https://kundencenter.telekom.de/kundencenter/dienste-abos/email-sms/index.html

unter dem Punkt (warte, bis die ganze lange Seite aufgebaut ist!!!)

"SMS, MMS, Postkarte und PC-Fax"

Das Fax erhältst Du dann ähnlich wie mit der Fritzbox als pdf angehängt an eine email.

Willst Du die Fax-emails nicht im "normalen" t-online-email-Postfach haben, so ist das auch möglich.

Ist aber ein bisschen kompliziert - zuerst musst Du dann einen Inklusivnutzer einrichten, dem den PC-Fax-Empfang einrichten, die bisherige Faxnummer diesem Inklusivnutzer zuordnen, die entsprechende Weiterleitung einrichten...