Zu ersten Problemstellung hatte ich den Hinweis von @Dilbert-MD IPv06 zu deaktivieren als Lösung markiert. Das war aber nur eine Teillösung. Es gingen die Webseiten, aber keine Apps. Nach dem komplette Zurücksetzen des Laptops hat diese Einstellung leider gar kein Unterschied gemacht. Wir haben es mit unserem alten Speedport Entry 2 probiert mit dem alles ging - nur eben sehr langsam. Unser Problem liegt offensichtlich wirklich am Speedport Pro. Hier nochmal mit mehr Details zum Problem wie von @Sherlocka  angefragt:

Ein Dell (Inspiron 5770) wird vom Speedport Pro (Version 120133.3.5.020.0, Telekomtarif MagentaZuhause M Hybrid (2) ) darin ausgebremst Webseiten wie Google etc. zu öffnen. Über W-LAN oder LAN kommt die Fehlermeldung PR_CONNECT_RESET_ERROR im Firefox, Chrome oder Edge.Darüber hinaus bekommen Programme/Apps (z.B. Discord) kein Internet.

Es gibt keine Besonderheiten wie andere Geräte oder Anschlussweiterschaltungen. Es sind im Router auch keine Filter oder Zeitschaltungen gesetzt. Es hat auch ohne Sicherheitssoftware nicht funktioniert - müsste aber eh mit funktionieren.

Wir haben den Laptop in die Ausgangssstellungen zurückgesetzt und alles propiert, was in diesem Artikel steht: https://www.ionos.de/digitalguide/hosting/hosting-technik/err-connection-reset/

Andere Geräte (Toshiba, Lenovo, Smartphones) funktionieren ganz normal mit dem Router und mit besagtem Dell hat es vor 3 Wochen auch noch funktioniert.