So ich habe die Lösung des Problems gefunden. Vielen Dank erstmal an Alle !!!

Das Problem ist, das nicht alle Gigaset-Telefone mit der Speedport -Basisstation (allerdings dann auch nicht mit Fritzbox und Co.) kompatibel sind. Werden ältere Mobiltelefone ohne den sog. HX-Standard auf die routereigene Basisstation angemeldet, stehen nicht mehr alle Funktionen zur Verfügung - wie zB die Wahl aus dem Telefonbuch, oder Direktwahltasten.....

Somit gibts nur zwei Alternativen: Ein neues Telefon kaufen, oder wie auch oben beschrieben die Basisstation des Gigaset direkt an den Router anschließen.

Letzteres habe ich nun gemacht, obwohl der Router im Hauswirtschaftsraum steht - Das Mobilteil lässt sich nun wieder vollumfänglich nutzen - allerdings brauche ich eine weitere Ladeschale, um es wieder dauerhaft im Wohnzimmer zu platzieren.

Die analoge "Durchleitung" vom Hauswirtschaftsraum zum Wohnzimmer - welche vorher genutzt wurde - hat der pfiffige Telekomtechniker "abgeklemmt" und stillgelegt.  Vielleicht versuche ich mal selber, die Durchleitung wieder anzuklemmen.

Aber es ist schon amüsant, das man bei Installation des Ganzen nicht auf den Missstand mit der mangelnden Kompatibilität hingewiesen wird -  zumal er das Telefon ja eigens in Augenschein genommen hat.....  aber nobody is perfect...