@bluebirdjogging 

werden die Emails im Emailcenter bearbeitet?  Wenn ja (auch beim externen Mailprogramm) einmal im Papierkorb nachschauen, ob sich dort die Mails aus dem Posteingang verirrt haben...alternativ einmal in den vorhandenen Ordnern schauen und hoffen, dass diese dahin verschoben worden sind.

Ist beides nicht der Fall, dann scheinen die Emails unwiderruflich gelöscht zu sein.

1. ist der Speicherdauer im Posteingang auf "nie löschen" eingestellt? Zu finden im Menü / Einstellungen / Speicher

2. Ist im Haushalt noch ein PC aktiv, der Mails mit einem externen Mailprogramm über POP abruft, mit der Folge, dass diese nach dem Abruf auf dem Server (also auch im Emailcenter) gelöscht werden?

bluebirdjogging

Ja, am Handy.

Überprüf dort mal die Einstellungen.
ob POP oder IMAP

https://www.a1.net/hilfe-kontakt/article/Vertrag-Services/E-Mail/E-Mail-einrichten/Was-ist-der-Unterschied-zwischen-POP3-und-IMAP-/500000000007404/500000000027480

bluebirdjogging

Ja, am Handy.

Eine Reihe von Smartphone-Mail-Apps hat eine Einstellung, die dafür sorgt, dass nur ein Teil der auf dem Server gespeicherten Mails geladen wird. Der Bereich kann z. B. nur einige Wochen umfassen. In dem fall werden die Mails aber üblicher Weise nur als Kopie der Nachrichten auf de Server geladen. 

Die Einstellung der Speicherdauer im Email-Center wirkt nur auf dieses. Ein externes Mailprogramm, das z. B. das IMAP Protokoll nutzt, wird bei der Löschung einer Mail auf dem Client auch die Version auf dem Server löschen. Stell man andererseits POP3 als Protokoll ein und betreibt das im früher üblichen Standard, dann werden Mails nicht nur vom Server abgeholt, sondern dort auch gelöscht. 

a) wer nur via Mail-Center seine Mails organisiert, belässt die Kontrolle beim ISP und wird irgendwann entweder an Grenzen stossen oder Mails verlieren. Gerade Letzteres wird hier reglemäßig berichtet. Man bringe also die Mails unter eigene Kontrolle.

b) wer Mails mit mehreren Geräten vom Server abholt oder mit diesem synchronisiert, der muss sicherstellen, dass die Regeln zum Umgang mit Mails auf allen Geräten mit den Wünschen übereinstimmen.

c) unabhängig von der Zahl der genutzten Clients sollte man Mails immer auf einem separaten, möglichst externen Datenträger  sichern. Dies sollte man zudem nach Möglichkeit automatisieren.

d) wer meint, er könne auf Mails verzichten und diese löschen, tut gut daran sie vor der Löschung zu sichern. Damit bewahrt man sich vor Fehleinschätzungen und Bedienfehlern.