Es gibt eine neue Firmware: https://teamwork.gigaset.com/gigawiki/display/GPPPO/Gigaset+Fusion+-+Release+1.12.0, die dieses Problem leider nicht löst. Mein Verkäufer und natürlich ich hatten sehr darauf gehofft. Aussage: Bei Telekom- und Vodafone-Anschlüssen gibt es Probleme, die dann im nächsten Update behoben werden sollen. Danke. Die Frist für eine Rückgabe ist abgelaufen. 
Interessant ist die Tatsache, dass das Vorgängermodell Gigaset DX800A im alleinigen IP-Modus ohne Probleme funktioniert hat und auch weiterhin an der Fritz!Box 7590 funktioniert. Fragen nach Konfigurationen und Routermodellen sind also nichts weiter als zeitraubend, denn daran liegt es nicht. Möglicherweise bin ich nicht der Einzige, der hier auf eine Lösung hofft. 
Danke schon jetzt an alle, die zielgerichtet helfen wollen.